关于公理的一点思考
14 Aug 2021最近在思考一个问题. 在数学中, 当我们在证明一个命题的时候, 会用到定理, 定理的来源是公理. 公理是没有经过证明, 但被当作不证自明的一个命题. 通常公理都很简单, 且符合直觉 [1]. 例如欧式几何的公理是 [2]:
- 从一点向另一点可以引一条直线。
- 任意线段能无限延伸成一条直线。
- 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
- 所有直角都相等。
- 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
上面对于公理的理解乍看下来似乎没什么问题. 但是我一直以来对于公理的论述都觉得有哪里不对劲, 但又说不上来. 这几天总算把这个不对劲想通了. 其实我纠结的地方是, 对于公理我们是使用自然语言来描述的, 公理是一套体系中推导的起点, 但是公理却是使用自然语言来描述的, 那么自然语言在这个体系中的角色是什么? 换句话说, 因为公理是使用自然语言来描述的, 那么公理作为一套体系的起源是不是没有那么纯粹了 (至少我们需要先定义自然语言是什么)? 是不是真的不纯粹了呢?
其实我这里犯的错误是, 没有把边界划清. 首先我们应该达成一个共识, 一个体系是没有办法自己定义自己的, 就像你没法把自己提起来一样. 所以我们对于一个体系的定义 (给定一个体系的公理), 肯定是在这个体系外进行的. 自然语言是我们在现实世界中对一个体系的描述. 所以, 公理在它自己的体系内还是很纯粹的.
其实我会有最开始的疑惑, 是我自己长久以来在学习与思考的一个”坏毛病” 导致的, 学习一个东西总是会想它的底层原理是什么, 通常一直底层下去就是一些数学或哲学上的问题了, 然后就不了了之了. 典型的想得太多, 书读得太少. 要改, 要多读书.