期权价格的上下界

期权的定价模型很复杂, 不过价格的上下界是比较好确定的. 先简单介绍下期权, 期权是一种未来的权利, call 的期权是未来以一定价格买入资产的权利, put 的期权是未来以一定价格卖出资产的权利. 既然是一种权利, 那么就可以选择行使或者不行使这个权利. 需要注意的是, 卖出 call 或者 put 的期权一方, 是必须确保买入一方权利可以正常行使的, 保证的方式是通过保证金制度来进行的.
金融衍生品的价格需要满足的一个条件就是市场无法在不承担风险的情况下获得超过无风险利率的收益. 下面的讨论我们假设期权是欧式期权 (只能在期权到期日行权), 其底层的金融资产是股票, 现价是 S , 市场无风险利率为 r, 期权的行权价为 K, 期权到期时间为 t.

价格上界

先来看下 call 的期权, 我们假设现在 call 期权的价格为 C, 超过了其上界, 因为其价格超过了上界, 那么我们这时候就应该卖出期权, 这样我们就获得了现金 C, 卖出 call 期权意味着在最差情况下到了期权行权日需要卖出股票给买入期权的一方, 为了抵消风险我们需要在卖出期权的时候以现价 S 买入对应股票, 这样我们就付出了现金 S. 这样的资产组合我们在期权到期时是不用承担任何风险的. 只要 C > S 就存在套利空间, 所以 call 的期权的上界为:
\[ C \leq S \]
下面我们看 put 的期权, 假设现在 put 期权的价格为 P , 超过了其上界, 因为其价格超过了上界, 那么我们这时候就应该卖出, 这样我们就获得了现金 P, 卖出 put 期权意味这在最差情况下到了期权行权日需要以价格 K 购买买入期权一方的股票. 现在的现金 P 到了行权日会以无风险利率 r 增值到 \(Pe^{rt}\). 只要 \(Pe^{rt} > K\) 就存在套利空间, 所以 put 的期权的上界为:
\[ P \leq Ke^{-rt} \]

价格下界

下界的确定和上界的确定是类似的, 只是多了一个额外的情况, 就是期权的价格至少是大于等于零的, 因为如果期权的价格为负, 那么期权的买入方的收益肯定是正的. 我们先来考虑 call 的期权. 同样的, 假设现在 call 期权的价格为 C, 低于其下界, 因为价格低于下界, 我们这时应该买入期权, 这样我们就付出了现金 C, 买入期权意味着到了期权行权日我们至少可以以价格 K 买入股票, 所以我们可以在现在做空股票, 这样就获得了现金 S, 此时我们手上有现金 S - C. 到了期权行权日, 我们的现金将以无风险利率 r 增值到 \((S-C)e^{rt}\), 同时为了平仓之前的做空操作, 我们最多要付出 K 的现金来买入股票, 那么只要 \((S-C)e^{rt} > K\) 或者 C < 0 就存在套利空间, 所以 call 的期权的下界为:
\[ C \geq MAX(S - Ke^{-rt}, 0) \]
下面看 put 的期权, 假设现在 put 的期权的价格为 P, 低于其下界, 同样的, 我们买入期权, 这样就付出了现金 P, 买入期权意味着我们在期权行权日至少可以以价格 K 卖出股票, 所以我们可以做多股票, 为此我们付出了现金 S, 现在我们总共借入了现金 S + P, 因为无风险利率为 r, 所以到了期权行权日我们需要偿还 \((S+P)e^{rt}\) 的现金, 同时我们之前做多的股票至少可以卖出 K 的价格, 那么只要 \((S+P)e^{rt} < K\) 或者 P < 0 就存在套利空间, 所以 put 的期权的下界为:
\[ P \geq MAX(Ke^{-rt} - S, 0) \]