链式法则推导
03 Feb 2017链式法则
链式法则 (chain rule), 是求复合函数导数的一个法则. 一元情况下, 设 \(f\) 和 \(g\) 为两个关于 \(x\) 可导函数, 则复合函数 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) 的导数 \((f \circ g)'(x)\) 为:
\[(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x)\]推导
一元的链式法则推导比较简单, 我们直接考虑二元的情况. 考虑函数 \(z = f(x, y)\), 其中 \(x = g(t), y = h(t)\), 那么:
\[\begin{align*} & f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t))}{\Delta t} \\ & f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t + \Delta t)) + f(g(t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t))}{\Delta t} \\ & f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t + \Delta t))}{\Delta t} + \frac{f(g(t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t))}{\Delta t} \end{align*}\]因为 \(g'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{g(t + \Delta t) - g(t)}{\Delta t}\), \(h'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{h(t + \Delta t) - h(t)}{\Delta t}\), 所以:
\[f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t + \Delta t))}{g(t + \Delta t) - g(t)} g'(t) + \frac{f(g(t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t))}{h(t + \Delta t) - h(t)} h'(t)\]根据导数的定义得:
\[f'(t) = (\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)) - f(g(t), h(t + \Delta t))}{g(t + \Delta t) - g(t)}) g'(t) + f'(h(t)) h'(t)\]令 \(s = t + \Delta t\), 得:
\[f'(t) = (\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(g(s), h(s)) - f(g(s - \Delta t), h(s))}{g(s) - g(s - \Delta t)}) g'(t) + f'(h(t)) h'(t)\]同样根据导数定义得:
\[f'(t) = f'(g(s)) g'(t) + f'(h(t)) h'(t)\]同时, 当 \(\Delta t \to 0\) 时, \(s = t\):
\[f'(t) = f'(g(t)) g'(t) + f'(h(t)) h'(t)\]注意点
- 推导时把 \(t\) 当做常数. 虽然 \(s\) 会随着 \(\Delta t\) 的变化而变化, 但是当 \(\Delta t\) 确定时, \(s\) 是确定的
- \(\Delta t\) 表示 实际 的增量, \(dt\) 表示 微小 的增量
- \(f'(t)\) 是牛顿表示导数的符号, 莱布尼兹的表示方式是 \(\frac{dz}{dt}\)
- \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 表示偏导数, \(\partial\) 是 \(d\) 的圆体变体
- 二元以上的推导也是类似的