链式法则推导

链式法则

链式法则 (chain rule), 是求复合函数导数的一个法则. 设 为两个关于 可导函数, 则复合函数 的导数 为:

推导

考虑函数 , 其中 , 那么:

因为 , , 所以:

根据导数的定义得:

, 得:

同样根据导数定义得:

同时, 当 时, :

注意点

  1. 推导时把 当做常数. 虽然 会随着 的变化而变化, 但是当 确定时, 是确定的
  2. 表示 实际 的增量, 表示 微小 的增量
  3. 是牛顿表示导数的符号, 莱布尼兹的表示方式是
  4. 表示偏导数, 的圆体变体
  5. 二元以上的推导也是类似的